Ensembles finis Exemples

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} + 2 p^{2} w - 6 p^{3} - 1$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre décroissant pour utiliser la règle de Descartes.

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Étape 1.1

Déplacez $2 p^{2} w$ .

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $- 18 p^{5}$ et $12 p^{5} w^{5}$ .

$12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Étape 2

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (p) = 12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Étape 3

Comme il y a $3$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $3$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(3 - 2)$ .

Racines positives : $3$ ou $1$

Étape 4

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $p$ par $- p$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- p) = 12 {(- p)}^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $- p$ .

$f (- p) = 12 ({(- 1)}^{5} p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- p) = 12 (- p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 ({(- 1)}^{5} p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.5

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 (- p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.7

Appliquez la règle de produit à $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 ({(- 1)}^{3} p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 (- p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.9

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Étape 5.10

Appliquez la règle de produit à $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} p^{2}) w - 1$

Étape 5.11

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 (1 p^{2}) w - 1$

Étape 5.12

Multipliez $p^{2}$ par $1$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Étape 6

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $2 - 2$ ).

Racines négatives : $2$ ou $0$

Étape 7

Le nombre possible de racines positives est $3$ ou $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $2$ ou $0$ .

Racines positives : $3$ ou $1$

Racines négatives : $2$ ou $0$